最小生成樹的Prim算法也是貪心算法的一大經(jīng)典應(yīng)用。Prim算法的特點(diǎn)是時(shí)刻維護(hù)一棵樹，算法不斷加邊，加的過程始終是一棵樹。
Prim算法過程：
一條邊一條邊地加， 維護(hù)一棵樹。
初始 E ＝ ｛｝空集合， V = ｛任選的一個(gè)起始節(jié)點(diǎn)｝
循環(huán)（n – 1）次，每次選擇一條邊（v1,v2）， 滿足：v1屬于V , v2不屬于V。且（v1,v2）權(quán)值最小。
E = E + （v1,v2）
V = V + v2
最終E中的邊是一棵最小生成樹， V包含了全部節(jié)點(diǎn)。
以下圖為例介紹Prim算法的執(zhí)行過程。
Prim算法的過程從A開始 V = {A}, E = {}
選中邊AF , V = {A, F}, E = {(A,F)}
選中邊FB, V = {A, F, B}, E = {(A,F), (F,B)}
選中邊BD, V = {A, B, F, D}, E = {(A,F), (F,B), (B,D)}
選中邊DE, V = {A, B, F, D, E}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E)}
選中邊BC, V = {A, B, F, D, E, c}, E = {(A,F), (F,B), (B,D), (D,E), (B,C)}, 算法結(jié)束。
Prim算法的證明：假設(shè)Prim算法得到一棵樹P，有一棵最小生成樹T。假設(shè)P和T不同，我們假設(shè)Prim算法進(jìn)行到第(K – 1)步時(shí)選擇的邊都在T中，這時(shí)Prim算法的樹是P', 第K步時(shí),Prim算法選擇了一條邊e = (u, v)不在T中。假設(shè)u在P'中，而v不在。
因?yàn)門是樹，所以T中必然有一條u到v的路徑，我們考慮這條路徑上第一個(gè)點(diǎn)u在P'中，最后一個(gè)點(diǎn)v不在P'中，則路徑上一定有一條邊f(xié) = (x,y)，x在P'中，而且y不在P'中。
我們考慮f和e的邊權(quán)w(f)與w(e)的關(guān)系： 若w(f) > w(e)，在T中用e換掉f （T中加上e去掉f)，得到一個(gè)權(quán)值和更小的生成樹，與T是最小生成樹矛盾。
若w(f) w(e), Prim算法在第K步時(shí)應(yīng)該考慮加邊f(xié)，而不是e,矛盾。
因此只有w(f) = w(e),我們?cè)赥中用e換掉f，這樣Prim算法在前K步選擇的邊在T中了，有限步之后把T變成P,而樹權(quán)值和不變， 從而Prim算法是正確的。
請(qǐng)仔細(xì)理解Prim算法——時(shí)刻維護(hù)一棵生成樹。我們的證明構(gòu)造性地證明了所有地最小生成樹地邊權(quán)（多重）集合都相同！
N個(gè)點(diǎn)M條邊的無向連通圖，每條邊有一個(gè)權(quán)值，求該圖的最小生成樹。
最后，我們來提供輸入輸出數(shù)據(jù)，由你來寫一段程序，實(shí)現(xiàn)這個(gè)算法，只有寫出了正確的程序，才能繼續(xù)后面的課程。
輸入
第1行：2個(gè)數(shù)N,M中間用空格分隔，N為點(diǎn)的數(shù)量，M為邊的數(shù)量。（2 = N = 1000, 1 = M = 50000)
第2 - M + 1行：每行3個(gè)數(shù)S E W，分別表示M條邊的2個(gè)頂點(diǎn)及權(quán)值。(1 = S, E = N，1 = W = 10000)
輸出
輸出最小生成樹的所有邊的權(quán)值之和。
輸入示例
9 14
1 2 4
2 3 8
3 4 7
4 5 9
5 6 10
6 7 2
7 8 1
8 9 7
2 8 11
3 9 2
7 9 6
3 6 4
4 6 14
1 8 8
輸出示例
37
maxv=10001
n,m=list(map(int,input().split()))
E=[]
V=set([1])
cost=[]
for i in range(n+1):
a=[]
for j in range(n+1):
a.append(maxv)
cost.append(a)
for i in range(m):
s,e,w=list(map(int,input().split()))
cost[s][e]=w
cost[e][s]=w
closet=[0]
lowcost=[maxv]
for i in range(1,n+1):
closet.append(1)
lowcost.append(cost[1][i])
ans=0
for i in range(n-1):
k=0
for j in range(2,n+1):
if (lowcost[j]!=0) and (lowcost[j]lowcost[k]):k=j
for j in range(2,n+1):
if cost[j][k]lowcost[j]:
lowcost[j]=cost[j][k]
closet[j]=k
ans+=lowcost[k]
lowcost[k]=0
print(ans)
到此這篇關(guān)于Python 經(jīng)典貪心算法之Prim算法案例詳解的文章就介紹到這了,更多相關(guān)Python 經(jīng)典貪心算法之Prim內(nèi)容請(qǐng)搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章希望大家以后多多支持腳本之家！
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