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Python排序算法之插入排序及其優化方案詳解

一、插入排序

插入排序與我們平時打撲克牌非常相似，將新摸到的牌插入到已有的牌中合適的位置，而已有的牌往往是有序的。

1.1 執行流程

（1）在執行過程中，插入排序會將序列分為2部分，頭部是已經排好序的，尾部是待排序的。
（2）從頭開始掃描每一個元素，每當掃描到一個元素，就將它插入到頭部合適的位置，使得頭部數據依然保持有序

1.2 逆序對

數組 2,3,8,6,1> 的逆序對為：2,1> ❤️,1> 8,1> 8,6> 6,1>，共5個逆序對。
插入排序的時間復雜度與逆序對的數量成正比關系，逆序對的數量越多，插入排序的消耗的時間就越多。
當逆序對的數量極少時，插入排序的效率特別高，甚至速度比 O nlogn 級別的快速排序還要快。

1.3 代碼實現

將一個元素插入到數組有序的前半部分中，那個插入的位置元素一定是比該元素大，而該位置前的元素比該元素小（或者是沒有前一個元素）。所以我們可以通過比較，將該元素進行冒泡：如果前一個元素比我大，則交換位置，否則停止冒泡。

def insertion_sort_ver1(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        while cur>0 and array[cur-1]>array[cur]:
            array[cur-1],array[cur]=array[cur],array[cur-1]
            cur-=1

整體代碼：

import numpy as np
import time

#檢查是否有序
def orderCheck(array):
    for i in range(len(array)-1):
        if array[i]>array[i+1]:
            print('排序失敗')
            return
    print('排序成功')
    
def sort(sort_algorithm,ori_array):
    #先復制一份數組，再進行更改
    array = np.copy(ori_array)
    start=time.clock()
    sort_algorithm(array)
    end=time.clock()
    total_time=float(end-start)
    print(sort_algorithm.__name__+" : %0.5f" % total_time)
    orderCheck(array)

def insertion_sort_ver1(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        while cur>0 and array[cur-1]>array[cur]:
            array[cur-1],array[cur]=array[cur],array[cur-1]
            cur-=1
            
array=np.random.randint(0,10000,2000,dtype=int)
sort(insertion_sort_ver1, array)

消耗時間為0.82632秒。

1.4 優化1

在冒泡中，交換前后cur和cur-1位置兩個元素的位置，需要進行兩次賦值，但如果冒泡仍要繼續，cur-1位置的元素還是會被cur-2位置的元素覆蓋，所以兩次賦值中的一次其實是無意義的，為此我們可以先找到插入位置，然后將后方的元素作統一的移動；或者是在冒泡過程中只進行一次賦值（將前一個元素移動到后方），直到冒泡結束確定插入位置后，再進行待插入元素的插入。

#元素交換作優化
def insertion_sort_ver2(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        cur=right
        elem=array[cur]
        while cur>0 and array[cur-1]>elem:
            array[cur]=array[cur-1]
            cur-=1
        array[cur]=elem

消耗時間為0.45987秒，明顯變快了。

1.5 優化2

之前我們在尋找插入的位置時，采用的是從大到小依次遍歷的方法，因為是在一個有序的數組上尋找插入的位置，我們肯定會想到一種查找的方法：二分查找。通過二分查找，我們可以通過O(logn)級別的比較與O(n)級別的元素移動完成排序任務，而之前我們進行的比較和移動，都是O(n)級別。

1.5.1 普通二分查找

普通的二分查找十分簡單，根據中間位置元素大小更新兩端索引位置即可，在此兩端的索引 [left,right)采用左閉右開的方式，這樣未查找到元素的條件就十分簡單，因為區間左閉右開，當leftright時，表明區間內還有元素，仍舊可以進行查找；否則，區間里沒有元素了，說明元素未查找到，代碼如下。

def binary_search(array,target):#[left,right)左閉右開
    left=0
    right=len(array)
    while leftright:#當leftright，表明區間中還有值，否則哪怕left==right,因right不可取，區間中還是無值
        middle = (left + right) >> 1
        if targetarray[middle]:
            right=middle
        elif array[middle]target:
            left=middle+1
        else:
            return middle
    return -1

1.5.2 二分查找插入位置

查找插入位置的二分查找顯然和普通二分不同，在此我們修改一下左右端點移動的條件與移動方式。在此左右端點依舊左閉右開，如果當array[middle]小于或等于插入元素target，那么顯然middle不可能是插入位置，middle位置的元素也不再需要，left應該為middle+1；而當array[middle]大于target，那么middle有可能是插入的位置（插入位置大于target，前一個元素如果存在，應小于target），應該保留middle，所以right=middle。但是區間是左閉右開，right不可取到，哪怕right=middle，middle不還是無法取得嗎？但由于array[middle]不論取何值（不管是大于、等于、小于），都將導致左右端點left、right的變化，且數組中左右端點代表區間的大小是不斷減小的，最終左右端點重合，此時的位置就是插入的位置。
下面是查找的示例：

代碼如下：

def binary_search(array,index):
    left=0
    right=index
    while leftright:
        middle=(left+right)>>1
        if array[middle]>array[index]:#大于目標，可能是插入的位置，用right保留
            right=middle
        else:#小于等于，不可能是插入位置，更新left為middle+1
            left=middle+1
    return left #最后插入的位置

1.5.3 使用二分的插入排序

找到插入位置后，我們只需移動位置后面的元素，再將元素插入即可。

#利用二分查找找到插入的點，減少了比較的次數
def insertion_sort_ver3(array):
    n=len(array)
    for right in range(1,n):
        index=binary_search(array,right)
        elem=array[right]
        for i in range(right,index,-1):
            array[i]=array[i-1]
        array[index]=elem