傅立葉變換時數字信號處理的重要方法之一，是法國數學家傅立葉在1807年在法國科學學會上發表的一篇文章中所提出的，在文章中使用了正弦函數描述溫度分布，而且提出了一個著名的論斷：任何連續性的周期信號都可以由一組適當的正弦曲線組合而成。而這個論斷被當時審查論文的著名數學家拉格朗日所否定，拉格朗日認為正弦函數無法組合成一個個帶有棱角的信號，但是從無限逼近的角度考慮，可以使用正弦函數來非常逼近期直到表示方法不存在明顯差異，這篇論文最終在在拉格朗日死后15年之久才得以發表。

傅立葉變換的分類

根據信號是是周期性以及連續還是離散的特點，將傅立葉變換進行延伸，變換分為如下四種

另外，根據使用的是實數還是復數，有分為實數傅立葉變換和復數傅立葉變換。

主要特點：FS

用于分析連續周期信號。時域上任意連續的周期信號可以分解為無限多個正弦信號之和，在頻域上就表示為離散非周期的信號，即時域連續周期對應頻域離散非周期的特點。

主要特點：FT

主要用于分析連續非周期信號，由于信號是非周期的，它必包含了各種頻率的信號，所以具有時域連續非周期對應頻域連續非周期的特點。

FS和FT 都是用于連續信號頻譜的分析工具，都以傅立葉級數理論問基礎推導出的。時域上連續的信號在頻域上都有非周期的特點，但對于周期信號和非周期信號又有在頻域離散和連續之分。

主要特點：DTFT

它用于離散非周期序列分析，根據連續傅立葉變換要求連續信號在時間上必須可積這一充分必要條件，那么對于離散時間傅立葉變換，用于它之上的離散序列也必須滿足在時間軸上級數求和收斂的條件；由于信號是非周期序列，它必包含了各種頻率的信號，所以DTFT對離散非周期信號變換后的頻譜為連續的，即有時域離散非周期對應頻域連續周期的特點。

主要特點：DFT

假設了序列的周期無限性，但在處理時又對區間作出限定（主值區間），以符合有限長的特點，這就使DFT帶有了周期性。另 外，DFT只是對一周期內的有限個離散頻率的表示，所以它在頻率上是離散的，就相當于DTFT變換成連續頻譜后再對其采樣，此時采樣頻率等于序列延拓后的周期N，即主值序列的個數。

離散傅立葉變換DFT

DFT用于將信號從時域變換為頻域，而且時域與頻域都是離散的，可以確認出一個信號是由哪些正弦波疊加而成，而這些結果者反應為正弦波的振幅和相位等信息。而至于時域與頻域，前者表示的是信號隨時間動態變化的關系，在這種分析方式下，往往會隨著時間的不同信號呈現不同的狀態變化。而頻域可以理解為正弦波的振幅，從傅立葉的論斷中我們了解到，任何周期函數，都可能是由不同振幅和不同相位與角頻率的正弦波的疊加，頻域分析的一個主要結果是頻譜，常見的頻譜有兩種：振幅相關的頻譜與相位相關的頻譜。比如正弦曲線可表示為y=Asin(ωx+φ)+k，具體的實際意義如下所示：

理解輔助：變形的諧波函數

諧波（harmonic wave）是指電流中所含有的頻率為基波的整數倍的電量，一般是指對周期性的非正弦電量進行傅里葉級數分解，其余大于基波頻率的電流產生的電量。如下可以看出動態的三角函數的圖形變換，可以加深對傅立葉論斷的理解。

理解輔助：振幅的頻譜

而至于如何求取頻譜，由于三角函數具有正交性，相互之間不具影響，根據此特性結合下圖，對于振幅的頻譜則可有直觀的了解。而至于初相相關的頻譜，可以以此為基礎，不難理解。

快速傅立葉變換FFT

FFT（Fast Fourier Transform）實際只是DFT的改善。是1965年由庫利和圖基共同提出的一種快速計算DFT的方法。這種方法充分利用了DFT運算中的對稱性和周期性，從而將DFT運算量從N2減少到N*log2N。當N比較小時，FFT優勢并不明顯。但當N大于32開始，點數越大，FFT對運算量的改善越明顯。比如當N為1024時，FFT的運算效率比DFT提高了100倍。

應用領域和局限

傅立葉變化在很多領域都有很好的應用，比如圖像優化和音頻降噪等等，但是由于傅立葉變換的模型建立在平穩信號基礎上的，對于非平穩信號的分析具有很大的局現性。

總結

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