1 Neural Networks 神經(jīng)網(wǎng)絡
1.1 Visualizing the data 可視化數(shù)據(jù)
這部分我們隨機選取100個樣本并可視化。訓練集共有5000個訓練樣本，每個樣本是20*20像素的數(shù)字的灰度圖像。每個像素代表一個浮點數(shù)，表示該位置的灰度強度。20×20的像素網(wǎng)格被展開成一個400維的向量。在我們的數(shù)據(jù)矩陣X中，每一個樣本都變成了一行，這給了我們一個5000×400矩陣X，每一行都是一個手寫數(shù)字圖像的訓練樣本。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.io import loadmat
import scipy.optimize as opt
from sklearn.metrics import classification_report # 這個包是評價報告
def load_mat(path):
'''讀取數(shù)據(jù)'''
data = loadmat('ex4data1.mat') # return a dict
X = data['X']
y = data['y'].flatten()
return X, y
def plot_100_images(X):
"""隨機畫100個數(shù)字"""
index = np.random.choice(range(5000), 100)
images = X[index]
fig, ax_array = plt.subplots(10, 10, sharey=True, sharex=True, figsize=(8, 8))
for r in range(10):
for c in range(10):
ax_array[r, c].matshow(images[r*10 + c].reshape(20,20), cmap='gray_r')
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
X,y = load_mat('ex4data1.mat')
plot_100_images(X)
1.2 Model representation 模型表示
我們的網(wǎng)絡有三層，輸入層，隱藏層，輸出層。我們的輸入是數(shù)字圖像的像素值，因為每個數(shù)字的圖像大小為20*20，所以我們輸入層有400個單元（這里不包括總是輸出要加一個偏置單元）。
1.2.1 load train data set 讀取數(shù)據(jù)
首先我們要將標簽值（1，2，3，4，…，10）轉(zhuǎn)化成非線性相關(guān)的向量，向量對應位置（y[i-1]）上的值等于1，例如y[0]=6轉(zhuǎn)化為y[0]=[0,0,0,0,0,1,0,0,0,0]。
from sklearn.preprocessing import OneHotEncoder
def expand_y(y):
result = []
# 把y中每個類別轉(zhuǎn)化為一個向量，對應的lable值在向量對應位置上置為1
for i in y:
y_array = np.zeros(10)
y_array[i-1] = 1
result.append(y_array)
'''
# 或者用sklearn中OneHotEncoder函數(shù)
encoder = OneHotEncoder(sparse=False) # return a array instead of matrix
y_onehot = encoder.fit_transform(y.reshape(-1,1))
return y_onehot
'''
return np.array(result)
獲取訓練數(shù)據(jù)集，以及對訓練集做相應的處理，得到我們的input X，lables y。
raw_X, raw_y = load_mat('ex4data1.mat')
X = np.insert(raw_X, 0, 1, axis=1)
y = expand_y(raw_y)
X.shape, y.shape
'''
((5000, 401), (5000, 10))
'''
.csdn.net/Cowry5/article/details/80399350
1.2.2 load weight 讀取權(quán)重
這里我們提供了已經(jīng)訓練好的參數(shù)θ1，θ2，存儲在ex4weight.mat文件中。這些參數(shù)的維度由神經(jīng)網(wǎng)絡的大小決定，第二層有25個單元，輸出層有10個單元(對應10個數(shù)字類)。
def load_weight(path):
data = loadmat(path)
return data['Theta1'], data['Theta2']
t1, t2 = load_weight('ex4weights.mat')
t1.shape, t2.shape
# ((25, 401), (10, 26))
1.2.3 展開參數(shù)
當我們使用高級優(yōu)化方法來優(yōu)化神經(jīng)網(wǎng)絡時，我們需要將多個參數(shù)矩陣展開，才能傳入優(yōu)化函數(shù)，然后再恢復形狀。
def serialize(a, b):
'''展開參數(shù)'''
return np.r_[a.flatten(),b.flatten()]
theta = serialize(t1, t2) # 扁平化參數(shù)，25*401+10*26=10285
theta.shape # (10285,)
def deserialize(seq):
'''提取參數(shù)'''
return seq[:25*401].reshape(25, 401), seq[25*401:].reshape(10, 26)
1.3 Feedforward and cost function 前饋和代價函數(shù) 1.3.1 Feedforward
確保每層的單元數(shù)，注意輸出時加一個偏置單元，s(1)=400+1，s(2)=25+1，s(3)=10。
def sigmoid(z):
return 1 / (1 + np.exp(-z))
def feed_forward(theta, X,):
'''得到每層的輸入和輸出'''
t1, t2 = deserialize(theta)
# 前面已經(jīng)插入過偏置單元，這里就不用插入了
a1 = X
z2 = a1 @ t1.T
a2 = np.insert(sigmoid(z2), 0, 1, axis=1)
z3 = a2 @ t2.T
a3 = sigmoid(z3)
return a1, z2, a2, z3, a3
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
1.3.2 Cost function
回顧下神經(jīng)網(wǎng)絡的代價函數(shù)（不帶正則化項）
輸出層輸出的是對樣本的預測，包含5000個數(shù)據(jù)，每個數(shù)據(jù)對應了一個包含10個元素的向量，代表了結(jié)果有10類。在公式中，每個元素與log項對應相乘。
最后我們使用提供訓練好的參數(shù)θ，算出的cost應該為0.287629
def cost(theta, X, y):
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
J = 0
for i in range(len(X)):
first = - y[i] * np.log(h[i])
second = (1 - y[i]) * np.log(1 - h[i])
J = J + np.sum(first - second)
J = J / len(X)
return J
'''
# or just use verctorization
J = - y * np.log(h) - (1 - y) * np.log(1 - h)
return J.sum() / len(X)
'''
cost(theta, X, y) # 0.2876291651613189
1.4 Regularized cost function 正則化代價函數(shù)
注意不要將每層的偏置項正則化。
最后You should see that the cost is about 0.383770
def regularized_cost(theta, X, y, l=1):
'''正則化時忽略每層的偏置項，也就是參數(shù)矩陣的第一列'''
t1, t2 = deserialize(theta)
reg = np.sum(t1[:,1:] ** 2) + np.sum(t2[:,1:] ** 2) # or use np.power(a, 2)
return l / (2 * len(X)) * reg + cost(theta, X, y)
regularized_cost(theta, X, y, 1) # 0.38376985909092354
2 Backpropagation 反向傳播
2.1 Sigmoid gradient S函數(shù)導數(shù)
這里可以手動推導，并不難。
def sigmoid_gradient(z):
return sigmoid(z) * (1 - sigmoid(z))
2.2 Random initialization 隨機初始化
當我們訓練神經(jīng)網(wǎng)絡時，隨機初始化參數(shù)是很重要的，可以打破數(shù)據(jù)的對稱性。一個有效的策略是在均勻分布(−e，e)中隨機選擇值，我們可以選擇 e = 0.12 這個范圍的值來確保參數(shù)足夠小，使得訓練更有效率。
def random_init(size):
'''從服從的均勻分布的范圍中隨機返回size大小的值'''
return np.random.uniform(-0.12, 0.12, size)
2.3 Backpropagation 反向傳播
目標：獲取整個網(wǎng)絡代價函數(shù)的梯度。以便在優(yōu)化算法中求解。
這里面一定要理解正向傳播和反向傳播的過程，才能弄清楚各種參數(shù)在網(wǎng)絡中的維度，切記。比如手寫出每次傳播的式子。
print('a1', a1.shape,'t1', t1.shape)
print('z2', z2.shape)
print('a2', a2.shape, 't2', t2.shape)
print('z3', z3.shape)
print('a3', h.shape)
'''
a1 (5000, 401) t1 (25, 401)
z2 (5000, 25)
a2 (5000, 26) t2 (10, 26)
z3 (5000, 10)
a3 (5000, 10)
'''
def gradient(theta, X, y):
'''
unregularized gradient, notice no d1 since the input layer has no error
return 所有參數(shù)theta的梯度，故梯度D(i)和參數(shù)theta(i)同shape，重要。
'''
t1, t2 = deserialize(theta)
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
d3 = h - y # (5000, 10)
d2 = d3 @ t2[:,1:] * sigmoid_gradient(z2) # (5000, 25)
D2 = d3.T @ a2 # (10, 26)
D1 = d2.T @ a1 # (25, 401)
D = (1 / len(X)) * serialize(D1, D2) # (10285,)
return D
2.4 Gradient checking 梯度檢測
在你的神經(jīng)網(wǎng)絡,你是最小化代價函數(shù)J(Θ)。執(zhí)行梯度檢查你的參數(shù),你可以想象展開參數(shù)Θ(1)Θ(2)成一個長向量θ。通過這樣做,你能使用以下梯度檢查過程。
def gradient_checking(theta, X, y, e):
def a_numeric_grad(plus, minus):
"""
對每個參數(shù)theta_i計算數(shù)值梯度，即理論梯度。
"""
return (regularized_cost(plus, X, y) - regularized_cost(minus, X, y)) / (e * 2)
numeric_grad = []
for i in range(len(theta)):
plus = theta.copy() # deep copy otherwise you will change the raw theta
minus = theta.copy()
plus[i] = plus[i] + e
minus[i] = minus[i] - e
grad_i = a_numeric_grad(plus, minus)
numeric_grad.append(grad_i)
numeric_grad = np.array(numeric_grad)
analytic_grad = regularized_gradient(theta, X, y)
diff = np.linalg.norm(numeric_grad - analytic_grad) / np.linalg.norm(numeric_grad + analytic_grad)
print('If your backpropagation implementation is correct,\nthe relative difference will be smaller than 10e-9 (assume epsilon=0.0001).\nRelative Difference: {}\n'.format(diff))
gradient_checking(theta, X, y, epsilon= 0.0001)#這個運行很慢，謹慎運行
2.5 Regularized Neural Networks 正則化神經(jīng)網(wǎng)絡
def regularized_gradient(theta, X, y, l=1):
"""不懲罰偏置單元的參數(shù)"""
a1, z2, a2, z3, h = feed_forward(theta, X)
D1, D2 = deserialize(gradient(theta, X, y))
t1[:,0] = 0
t2[:,0] = 0
reg_D1 = D1 + (l / len(X)) * t1
reg_D2 = D2 + (l / len(X)) * t2
return serialize(reg_D1, reg_D2)
2.6 Learning parameters using fmincg 優(yōu)化參數(shù)
def nn_training(X, y):
init_theta = random_init(10285) # 25*401 + 10*26
res = opt.minimize(fun=regularized_cost,
x0=init_theta,
args=(X, y, 1),
method='TNC',
jac=regularized_gradient,
options={'maxiter': 400})
return res
res = nn_training(X, y)#慢
res
'''
fun: 0.5156784004838036
jac: array([-2.51032294e-04, -2.11248326e-12, 4.38829369e-13, ...,
9.88299811e-05, -2.59923586e-03, -8.52351187e-04])
message: 'Converged (|f_n-f_(n-1)| ~= 0)'
nfev: 271
nit: 17
status: 1
success: True
x: array([ 0.58440213, -0.02013683, 0.1118854 , ..., -2.8959637 ,
1.85893941, -2.78756836])
'''
def accuracy(theta, X, y):
_, _, _, _, h = feed_forward(res.x, X)
y_pred = np.argmax(h, axis=1) + 1
print(classification_report(y, y_pred))
accuracy(res.x, X, raw_y)
'''
precision recall f1-score support
1 0.97 0.99 0.98 500
2 0.98 0.97 0.98 500
3 0.98 0.95 0.96 500
4 0.98 0.97 0.97 500
5 0.97 0.98 0.97 500
6 0.99 0.98 0.98 500
7 0.99 0.97 0.98 500
8 0.96 0.98 0.97 500
9 0.97 0.98 0.97 500
10 0.99 0.99 0.99 500
avg / total 0.98 0.98 0.98 5000
'''
3 Visualizing the hidden layer 可視化隱藏層
理解神經(jīng)網(wǎng)絡是如何學習的一個很好的辦法是，可視化隱藏層單元所捕獲的內(nèi)容。通俗的說，給定一個的隱藏層單元，可視化它所計算的內(nèi)容的方法是找到一個輸入x，x可以激活這個單元（也就是說有一個激活值接近與1）。對于我們所訓練的網(wǎng)絡，注意到θ1中每一行都是一個401維的向量，代表每個隱藏層單元的參數(shù)。如果我們忽略偏置項，我們就能得到400維的向量，這個向量代表每個樣本輸入到每個隱層單元的像素的權(quán)重。因此可視化的一個方法是，reshape這個400維的向量為（20，20）的圖像然后輸出。
注：
It turns out that this is equivalent to finding the input that gives the highest activation for the hidden unit, given a norm constraint on the input.
這相當于找到了一個輸入，給了隱層單元最高的激活值，給定了一個輸入的標準限制。例如(||x||2≤1)
(這部分暫時不太理解)
def plot_hidden(theta):
t1, _ = deserialize(theta)
t1 = t1[:, 1:]
fig,ax_array = plt.subplots(5, 5, sharex=True, sharey=True, figsize=(6,6))
for r in range(5):
for c in range(5):
ax_array[r, c].matshow(t1[r * 5 + c].reshape(20, 20), cmap='gray_r')
plt.xticks([])
plt.yticks([])
plt.show()
到此在這篇練習中，你將學習如何用反向傳播算法來學習神經(jīng)網(wǎng)絡的參數(shù)，更多相關(guān)機器學習，神經(jīng)網(wǎng)絡內(nèi)容請搜索腳本之家以前的文章或繼續(xù)瀏覽下面的相關(guān)文章，希望大家以后多多支持腳本之家！
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