如何應用分治法求解棋盤覆蓋問題呢？分治的技巧在于如何劃分棋盤，使劃分后的子棋盤的大小相同，并且每個子棋盤均包含一個特殊方格，從而將原問題分解為規模較小的棋盤覆蓋問題。k>0時，可將2k×2k的棋盤劃分為4個2（k-1）×2（k-1）的子棋盤。這樣劃分后，由于原棋盤只有一個特殊方格，所以，這4個子棋盤中只有一個子棋盤包含該特殊方格，其余3個子棋盤中沒有特殊方格。為了將這3個沒有特殊方格的子棋盤轉化為特殊棋盤，以便采用遞歸方法求解，可以用一個L型骨牌覆蓋這3個較小棋盤的會合處，從而將原問題轉化為4個較小規模的棋盤覆蓋問題。遞歸地使用這種劃分策略，直至將棋盤分割為1×1的子棋盤。
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
class Board:
def __init__(self, size, x, y):
'''
初始化棋盤
:param size: 棋盤邊長
:param x: 特殊點橫坐標
:param y: 特殊點縱坐標
'''
self.special_block = (x, y)
self.board = np.zeros((size, size), dtype=int)
self.board[x][y] = (size * size - 1) / 3 + 1
self.t = 1
self.size = size
def visualize(self):
'''
可視化函數
:return: None
'''
plt.imshow(self.board, cmap=plt.cm.gray)
plt.colorbar()
plt.show()
def fill_block(self, x, y):
'''
填充點(x, y)
:param x: x
:param y: y
:return: None
'''
if self.board[x][y] == 0:
self.board[x][y] = self.t
else:
raise Exception
def fill(self, s_x, s_y, size, c_x, c_y):
'''
遞歸函數填充棋盤或子棋盤（下文稱區塊)
:param s_x: 區塊左上角x
:param s_y: 區塊左上角y
:param size: 區塊邊長
:param c_x: 區塊特殊點坐標x
:param c_y: 區塊特殊點坐標x
:return: None
'''
if size == 1:
return
pos = (round((c_x - s_x + 1) / size), round((c_y - s_y + 1) / size))
center = (round(s_x + size / 2 - 1), round(s_y + size / 2 - 1))
ls = [(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)] # 代表四個子區塊
for i in ls:
if i != pos: # 如果不是原有特殊點所在區塊，則構造特殊點并填充
x = center[0] + i[0]
y = center[1] + i[1]
self.fill_block(x, y)
self.t += 1 # 標記號加一，標記下一骨牌
for i in ls:
if i != pos: # 如果不是原有特殊點所在區塊
# 所構造特殊點位置(x, y)
x = center[0] + i[0]
y = center[1] + i[1]
x1 = s_x + i[0] * (size / 2)
y1 = s_y + i[1] * (size / 2)
self.fill(x1, y1, size / 2, x, y)
else: # 如果是原有特殊點所在區塊
x1 = s_x + i[0] * (size / 2)
y1 = s_y + i[1] * (size / 2)
self.fill(x1, y1, size / 2, c_x, c_y)
if __name__ == '__main__':
k = eval(input("請輸入正整數K(棋盤大小2^2k,2^2k):\n"))
loc_x = eval(input("請輸入特殊點橫坐標:\n"))
loc_y = eval(input("請輸入特殊點縱坐標:\n"))
size = 2 ** (2 * k)
b = Board(size, loc_x, loc_y)
b.fill(0, 0, size, loc_x, loc_y)
b.visualize()
print(b.board)
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