一、題目

1.主題：邏輯回歸

2.描述：假設你是某大學招生主管，你想根據兩次考試的結果決定每個申請者的錄取
機會。現有以往申請者的歷史數據，可以此作為訓練集建立邏輯回歸模型，并用
其預測某學生能否被大學錄取。

3.數據集：文件 ex2data1.txt ，第一列、第二列分別表示申請者兩次
考試的成績，第三列表示錄取結果（1 表示錄取，0 表示不錄取）。

二、目的

1.理解邏輯回歸模型

2.掌握邏輯回歸模型的參數估計算法

三、平臺

1.硬件：計算機

2.操作系統：WINDOWS

3.編程軟件：Pycharm

4.開發語言：python

四、基本原理

注：基本原理是我們在學習邏輯回歸過程中的一些總結，包括為什么要選擇對數損失函數等。

4.1 邏輯回歸

邏輯回歸就是將樣本的特征可樣本發生的概率聯合起來，概率就是一個數，所以就是解決分類問題，一般解決二分類問題。
對于線性回歸中，f ( x ) = w T x + b ，這里 f ( x ) 的范圍為[ − ∞ , + ∞ ]，說明通過線性回歸中我們可以求得任意的一個值。對于邏輯回歸來說就是概率，這個概率取值需要在區間[0,1]內，通常我們使用Sigmoid函數表示。

Sigmoid函數其表達式為（2）

最終我們可以通過Sigmoid函數求出對于每組自變量使得因變量預測為1的概率P；

即：

（當P>0.5時預測為1，小于0.5為0）
在分類情況下，經過學習后的LR分類器其實就是一組權值θ ，當有測試樣本輸入時，這組權值與測試數據按照加權得到

之后按照Sigmoid函數的形式求出

從而去判斷每個測試樣本所屬的類別。

4.2 損失函數

實驗一我們做線性回歸模型時，給出了線性回歸的代價函數的形式（誤差平方和函數），具體形式如：

但是并不能應用到邏輯回歸中，這是因為LR的假設函數的外層函數是Sigmoid函數，Sigmoid函數是一個復雜的非線性函數，這就使得我們將邏輯回歸的假設函數

帶入上式時，我們得到的 是一個非凸函數，如下圖：

因此，此處我們需要重新考慮損失函數；
在邏輯回歸中，我們最常用的損失函數為對數損失函數，對數損失函數可以為LR提供一個凸的代價函數，有利于使用梯度下降對參數求解。對數函數圖像如圖：

藍色的曲線表示的是對數函數的圖像，紅色的曲線表示的是負對數 的圖像，該圖像在0-1區間上有一個很好的性質，如圖粉紅色曲線部分。在0-1區間上當z=1時，函數值為0，而z=0時，函數值為無窮大。這就可以和代價函數聯系起來，在預測分類中當算法預測正確其代價函數應該為0；當預測錯誤，我們就應該用一個很大代價（無窮大）來懲罰我們的學習算法，使其不要輕易預測錯誤。
因此，我們重新定義邏輯回歸的代價函數為：

損失函數的求解為：

五、實驗步驟

1.數據可視化

在python中通過文件導入數據，并使用matlibplot工具建立對應散點圖：

需要注意的是，我們的theta是三元組，θ0對應的X特征值固定為1，因此讀取數據時，如上圖最左側加入一個1；

可以看到，被錄取與不被錄取的數據有較為清晰的一個界限，接下來我們要求解的就是這條界線；

2. 將線性回歸參數初始化為0，計算代價函數(cost function)的初始值

根據基本原理中的代價計算公式，這里將sigmoid、損失公式代碼化：

將theta初始化為（0，0，0）后，直接調用cost函數求值：

得到代價函數初始值：

3. 選擇一種優化方法求解邏輯回歸參數

(1)梯度下降法

我們選擇先用梯度下降法來觀察theta參數結果；
梯度下降算法代碼實現如圖：

X：對于線性回歸中的常量b，我們可以將它的系數視為1，然后和變量x組成一個m行3列的矩陣，其中m是數據規模，這個矩陣就是X。
Y：一個m行1列的矩陣，對應是否錄取。
alpha：學習率
第一步，將我們的Θ初始化為[[0][0][0]]。
第二步，對于給定的步長alpha和此時的梯度gradient，更新我們的theta。然后計算此時thrta對應的梯度更新gradient。
第三步，重復第二步30萬次
第四步，返回theta，即為我們線性回歸的參數。

但是，對于邏輯回歸來說，這里遇到了一個問題，那就是alpha和迭代次數的取值，如果alpha過小，損失函數將收斂的非常慢，迭代次數達到40萬時才勉強收斂，但如果alpha過大，又會導致過大的步長使得準確率下降；
alpha = 0.001時的收斂函數，在50萬次時收斂： 0.005時在25萬次時收斂；

而如果alpha繼續增大（如0.01），將導致不夠準確，其界限與收斂圖形如下：

（界限太差，僅80%準確率，且需要20萬次迭代）
因此，我們在運行該數據時需要運行稍長的時間；alpha=0.005，迭代次數為30萬時可以得到一組回歸參數：

它的劃分邊界如圖所示，其準確率為92%：該參數的劃分準確率計算方法如下：

測試準確率：

比較簡單，預測正確則加一，最后除以全部樣本數。

(2)牛頓迭代法

因為上述的迭代下降法所需迭代次數過多，因此這里使用一種優化方法來求解參數；

方法介紹

牛頓迭代法的原理較為復雜，因此不在這里寫出來。
對比這牛頓迭代法方法與梯度下降法的參數更新公式可以發現，兩種方法不同在于牛頓法中多了一項二階導數，這項二階導數對參數更新的影響主要體現在 改變參數更新方向上。

如圖所示，紅色是牛頓法參數更新的方向，綠色為梯度下降法參數更新方向，因為牛頓法考慮了二階導數，因而可以找到更優的參數更新方向，在每次更新的步幅相同的情況下，可以比梯度下降法節省很多的迭代次數。
迭代過程：

代碼實現

h值為sigmoid函數求得的概率；
J為一階偏導數
H為Hession矩陣（海森矩陣），二階偏導數

牛頓迭代法得到的theta：

優點

對于同樣的學習率alpha = 0.005，cost僅需要1000次迭代就差不多收斂了；
而如果放大alpha，如alpha = 0.5，那么它只需要迭代10次即可收斂。

并且準確率保持在89%（數據較小）；

3. 某學生兩次考試成績分別為 42、85，預測其被錄取的概率

這里直接使用sigmoid函數以及牛頓迭代法求得的theta來進行其概率的計算：

得到結果：

即，y=1的概率為0.65145509，也就是被錄取的概率

4. 畫出分類邊界

在上面已經畫出了梯度下降法的分類邊界，這里給出牛頓迭代法的邊界

到此這篇關于Python機器學習之邏輯回歸的文章就介紹到這了,更多相關Python邏輯回歸內容請搜索腳本之家以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家！