不少同學一提到泰勒公式，腦海里立馬浮現高大上的定義和長長的公式，令人望而生畏。

實際上，泰勒公式沒有那么可怕，它是用簡單的多項式來逼近一個光滑的函數，從而近似替代不熟悉的函數。由于泰勒公式具有將復雜函數近似成多個冪函數疊加形式的性質，可以用它進行比較、求極限、求導、解微分方程等。

我們先來看一下泰勒公式的發明者，布魯克·泰勒——

布魯克·泰勒（Brook Taylor,1685-1732）,英國數學家，牛頓學派最優秀的代表人物之一，他于1712年的一封信里首次敘述了泰勒公式。

再來看一下高數書上對泰勒公式的定義：

公式3-5就稱為f(x)在x0處的帶有拉格朗日余項的n階泰勒公式。

初看這個泰勒公式的定義，就覺得恢宏大氣，氣勢磅礴。不過光從泰勒公式的定義，很難直觀看出它是怎么用多項式逼近原函數的。接下來我們用圖像和圖表來感受一下——

這里我們先列舉出f(x) = cosx在原點的泰勒2階、4階、6階、8階、10階的多項式，并用圖像表示該函數及其泰勒n階多項式。

對應圖像如下，其中黑色線條為原函數f(x)，彩色線條為多項式g(x)。可以看到隨著階數的增大，多項式在更大范圍內越來越逼近原函數。

我們再用python實現函數y=cosx的泰勒n階多項式，并與y=cosx的實際值進行比較，其中令n=40。

def f_cos(x):
    m = 20+1
    sum = 1.0
    for i in range(1,m): #range函數取值是左閉右開
        n = 2 * i 
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i+1):
            tmp1 = -tmp1             
        for j in range(1,n+1):                    
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
    return sum

from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
    print("cos(x) = " + str(cos(x)))

比較自定義的f_cos(x)和numpy庫的cosx的誤差：