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python機器學習高數篇之泰勒公式

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不少同學一提到泰勒公式,腦海里立馬浮現高大上的定義和長長的公式,令人望而生畏。

實際上,泰勒公式沒有那么可怕,它是用簡單的多項式來逼近一個光滑的函數,從而近似替代不熟悉的函數。由于泰勒公式具有將復雜函數近似成多個冪函數疊加形式的性質,可以用它進行比較、求極限、求導、解微分方程等。

我們先來看一下泰勒公式的發明者,布魯克·泰勒——

布魯克·泰勒(Brook Taylor,1685-1732),英國數學家,牛頓學派最優秀的代表人物之一,他于1712年的一封信里首次敘述了泰勒公式。

再來看一下高數書上對泰勒公式的定義:

公式3-5就稱為f(x)在x0處的帶有拉格朗日余項的n階泰勒公式。

初看這個泰勒公式的定義,就覺得恢宏大氣,氣勢磅礴。不過光從泰勒公式的定義,很難直觀看出它是怎么用多項式逼近原函數的。接下來我們用圖像和圖表來感受一下——

這里我們先列舉出f(x) = cosx在原點的泰勒2階、4階、6階、8階、10階的多項式,并用圖像表示該函數及其泰勒n階多項式。

對應圖像如下,其中黑色線條為原函數f(x),彩色線條為多項式g(x)。可以看到隨著階數的增大,多項式在更大范圍內越來越逼近原函數。

我們再用python實現函數y=cosx的泰勒n階多項式,并與y=cosx的實際值進行比較,其中令n=40。

def f_cos(x):
    m = 20+1
    sum = 1.0
    for i in range(1,m): #range函數取值是左閉右開
        n = 2 * i 
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i+1):
            tmp1 = -tmp1             
        for j in range(1,n+1):                    
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3
    return sum
from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_cos(x) = " + str(f_cos(x)))
    print("cos(x) = " + str(cos(x)))

比較自定義的f_cos(x)和numpy庫的cosx的誤差:

x取值 自定義的f_cos(x) numpy庫的cosx 誤差(f_cos(x) - cos(x)) 分析
20 2577.3069 0.4081 2576.8988 誤差非常大
19 305.1701 0.9887 304.1814 誤差較大
18 32.5969 0.6603 31.9366 存在誤差
17 2.6676 -0.2752 2.9428 存在誤差
16 -0.7234 -0.9577 0.2343 存在0.1級誤差
15 -0.7439 -0.7597 0.0158 存在0.01級誤差
14 0.1376 0.1367 0.0009 存在0.0001級誤差
13 0.9075 0.9074 0.0000 精度范圍內一致
12 0.8439 0.8439 0.0000 精度范圍內一致
11 0.0044 0.0044 0.0000 精度范圍內一致
10 -0.8391 -0.8391 0.0000 精度范圍內一致
9 -0.9111 -0.9111 0.0000 精度范圍內一致
8 -0.1455 -0.1455 0.0000 精度范圍內一致
7 0.7539 0.7539 0.0000 精度范圍內一致
6 0.9602 0.9602 0.0000 精度范圍內一致
5 0.2837 0.2837 0.0000 精度范圍內一致
4 -0.6536 -0.6536 0.0000 精度范圍內一致
3 -0.9900 -0.9900 0.0000 精度范圍內一致
2 -0.4161 -0.4161 0.0000 精度范圍內一致
1 0.5403 0.5403 0.0000 精度范圍內一致
0 1.0000 1.0000 0.0000 精度范圍內一致

由于f(x) = cosx函數關于y軸對稱,這里只列舉出了x軸右半部分[0,20]的范圍,x軸左半部分的結果與右半部分結果相同。

在[0,20]范圍內,當x=20時,二者的誤差非常大。隨著x的減小,二者的誤差也在逐漸減小。在[0,13]范圍內,二者在精度范圍內完全一致,幾乎零誤差。

大家可以嘗試一下,把n的值調大,這個精度一致的范圍會變大。例如此例若n=30,即y=cosx的泰勒30階多項式,則在[-20,20]范圍內,二者精度都完全一致。感興趣的同學可以運用同樣的方法,分析一下其他函數。

再試著寫出函數y=sinx的泰勒n階多項式的python程序,其中n=19。

def f_sin(x):
    m = 10+1
    sum = 0.0
    for i in range(1,m):
        n = 2 * i - 1     
        tmp1,tmp2,tmp3 = 1,1,1
        for j in range(1,i):
            tmp1 = -tmp1  
        for j in range(1,n+1):          
            tmp2 = tmp2*x
            tmp3 = tmp3*j
        sum = sum + tmp1*tmp2/tmp3 
    return sum
from numpy import *
for x in range(-20,21):
    print("x = " + str(x))
    print("f_sin(x) = " + str(f_sin(x)))
    print("sin(x) = " + str(sin(x)))

后續會繼續增加一些函數的泰勒n階多項式python程序(可能會偷懶)。

最后推薦一個比較好用的在線畫函數的工具Desmos:

https://www.desmos.com/calculator?lang=zh-CN

簡易教程:

https://www.ravenxrz.ink/archives/27d14722.html

還可以用著名的心形線畫個愛心哦:

到此這篇關于python機器學習高數篇之泰勒公式的文章就介紹到這了,更多相關python泰勒公式內容請搜索腳本之家以前的文章或繼續瀏覽下面的相關文章希望大家以后多多支持腳本之家!

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